Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Назовите наименьшее значение S, при котором Петя может выиграть первым ходом.
ПОЛУЧИТЬ ОТВЕТ Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом при любой игре Пети.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания через пробел.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания через пробел.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 81 или больше камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Если при этом в куче оказалось не более 235 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – Петя не может выиграть за один ход; – Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 81. Если при этом в куче оказалось не более 235 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 79. Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 7 камней или уменьшить количество камней в 2 раза. Убирать 7 камней можно только тогда, когда в куче есть не менее 7 камней. Если количество камней не кратно 2, то при уменьшении количества камней в два раза остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 2. Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 12 камней или кучу из 9 камней. Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. убравший из кучи последний камень. В начальный момент в куче было S камней; S > 0. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия: – Ваня не может выиграть за один ход; – Ваня может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Пети.
